Projektdaten

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Spektraltheorie für singuläre Sturm-Liouville-Operatoren mit indefinitem Gewicht

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Motiviert durch Fragestellungen der Operatortheorie sowie durch Differentialgleichungsprobleme, z.B. aus der Transporttheorie oder bei der Ausbreitung von Wellen im flachen Wasser, erfuhren Sturm-Liouville-Differentialoperatoren mit indefiniten Gewichtsfunktionen in den letzten beiden Jahrzehnten viel Aufmerksamkeit, wobei sich deren Theorie rasch weiterentwickelte. Dennoch sind heute, im Gegensatz zum bereits gut erforschten regulären Fall, immer noch viele grundlegende Fragen für singuläre Sturm-Liouville-Operatoren ungeklärt. Insbesondere ist wenig bekannt über die Lage des nichtreellen Spektrums indefiniter singulärer Sturm-Liouville-Operatoren sowie die mögliche Häufungen desselben gegen die reelle Achse.Hauptgegenstand des hier vorgestellten Projektes ist die Untersuchung des nichtreellen Spektrums singulärer indefiniter Sturm-Liouville-Differentialoperatoren. Ziel ist es, die Lage nichtreeller Eigenwerte mittels Schranken einzugrenzen und zu verstehen, in welchen Situationen und in welchen Bereichen der reellen Achse sich Punktspektrum häufen kann. Grundlage für das hier vorgestellte Vorhaben sind Asymptotiken für Lösungen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung (resultierend aus der sogenannte WKB-Approximation). Diese Methode muss in einem ersten Schritt auf die vorliegende Problemklasse angepasst werden. Hier betreten wir Neuland. Mit Hilfe dieser Asymptotiken sollen weiterhin Aussagen über das Häufungsverhalten sowie Anzahl nichtreeller Spektralpunkte gewonnen werden. Ein weiterer Aspekt des Projektes ist die Untersuchung des Punktspektrums innerhalb von Lücken des essentiellen Spektrums mittels Methoden der Oszillationstheorie.